Question

【题目】已知F1，F2为椭圆E：的左、右焦点，且|F1F2|＝2，点在E上.

（1）求E的方程；

（2）直线l与以E的短轴为直径的圆相切，l与E交于A，B两点，O为坐标原点，试判断O与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）O在以AB为直径的圆外，理由见解析

【解析】

（1）根据，点在上，结合，即可得到；

（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论.斜率不存在时，直接通过与半径比较即可；斜率存在时，设直线方程，联立方程组，利用韦达定理表示出,和，借助向量的坐标运算，求出为锐角，进而判断出与以为直径的圆的位置关系.

（1），点在上，

可得，即，，解得，

则椭圆的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为和，

若，可得与椭圆的交点为，

以为直径的圆心为，半径为，，即在圆外；

同理可得时，也有在圆外；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

则到的距离为，即，

联立椭圆方程和直线l的方程可得，

,

设，，即有,，

，

即，则为锐角，故在以为直径的圆外.

综上可得，在以为直径的圆外.