题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为1.(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)先设出椭圆标准方程,根据题意可知b=c,根据准线方程求得c和a的关系,进而求得a,b和c,则椭圆方程可得.
(Ⅱ)设出直线l的方程和A,B的坐标,进而把直线方程与椭圆方程联立,消去y,根据判别式大于0求得k的范围,根据韦达定理求得x1+x2,x1x2的表达式,表示出|AB|,求得原点到直线的距离,进而表示出三角形的面积,两边平方根据一元二次方程,建立关于S的不等式,求得S的最大值,进而求得k,则直线方程可得.
(Ⅱ)设出直线l的方程和A,B的坐标,进而把直线方程与椭圆方程联立,消去y,根据判别式大于0求得k的范围,根据韦达定理求得x1+x2,x1x2的表达式,表示出|AB|,求得原点到直线的距离,进而表示出三角形的面积,两边平方根据一元二次方程,建立关于S的不等式,求得S的最大值,进而求得k,则直线方程可得.
解答:解:设椭圆方程为
+
=1(a>b>c)
(Ⅰ)由已知得
?
,
∴所求椭圆方程为8x2+16y2=1.
(Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
由
,消去y得关于x的方程:
(1+2k2)x2+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点,
∴△>0?64k2-24(1+2k2)>0
解得k2>
又由韦达定理得
∴|AB|=
|x1-x2|=
=
原点O到直线l的距离d=
∵S△AOB=
|AB|•d=
=
.
对S=
两边平方整理得:4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0(*)
∵S≠0,
整理得:S2≤
又S>0,∴0<S≤
从而S△AOB的最大值为S=
,
此时代入方程(*)得4k4-28k2+49=0∴k=±
所以,所求直线方程为:±
x-2y+4=0.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅰ)由已知得
|
|
∴所求椭圆方程为8x2+16y2=1.
(Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2)
由
|
(1+2k2)x2+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点,
∴△>0?64k2-24(1+2k2)>0
解得k2>
3 |
2 |
又由韦达定理得
|
∴|AB|=
1+k2 |
1+k2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
| ||
1+2k2 |
16k2-24 |
原点O到直线l的距离d=
2 | ||
|
∵S△AOB=
1 |
2 |
| ||
1+2k2 |
2
| ||||
1+2k2 |
对S=
| ||
1+2k2 |
∵S≠0,
|
整理得:S2≤
1 |
2 |
又S>0,∴0<S≤
| ||
2 |
从而S△AOB的最大值为S=
| ||
2 |
此时代入方程(*)得4k4-28k2+49=0∴k=±
| ||
2 |
所以,所求直线方程为:±
254 |
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系.考查了学生分析问题和基本运算的能力.
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