题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程.
分析:(Ⅰ)先设出椭圆标准方程,根据题意可知b=c,根据准线方程求得c和a的关系,进而求得a,b和c,则椭圆方程可得.
(Ⅱ)设出直线l的方程和A,B的坐标,进而把直线方程与椭圆方程联立,消去y,根据判别式大于0求得k的范围,根据韦达定理求得x1+x2,x1x2的表达式,表示出|AB|,求得原点到直线的距离,进而表示出三角形的面积,两边平方根据一元二次方程,建立关于S的不等式,求得S的最大值,进而求得k,则直线方程可得.
解答:解:设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>c)

(Ⅰ)由已知得
b=c
2a2
c
=1
a2=b2+c2
?
a=
2
4
b=c=
1
4

∴所求椭圆方程为8x2+16y2=1.
(Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2
y=kx+2
8x2+16y2=1
,消去y得关于x的方程:
(1+2k2)x2+8kx+6=0
由直线l与椭圆相交于A、B两点,
∴△>0?64k2-24(1+2k2)>0
解得k2
3
2

又由韦达定理得
x1+x2=-
8k
1+2k2
x1x2=
6
1+2k2

|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
1+2k2
16k2-24

原点O到直线l的距离d=
2
1+k2

S△AOB=
1
2
|AB|•d=
16k2-24
1+2k2
=
2
2
2k2-3
1+2k2

S=
16k2-24
1+2k2
两边平方整理得:4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0(*)
∵S≠0,
16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0
4-S2
S2
>0
S2+24
4S2
>0

整理得:S2
1
2

又S>0,∴0<S≤
2
2

从而S△AOB的最大值为S=
2
2

此时代入方程(*)得4k4-28k2+49=0∴k=±
254
2

所以,所求直线方程为:±
254
x-2y+4=0
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系.考查了学生分析问题和基本运算的能力.
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