Question

13．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=-3bcosA，tanC=$\frac{3}{4}$．    
（1）求tanB的值； 
（2）若c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinC=-3sinBcosA，利用三角函数恒等变换的应用可得sinAcosB=-4sinBcosA，由cosAcosB≠0，可得$\frac{tanA}{tanB}=-4$，利用两角和的正切函数公式即可解得tanB的值．
（2）由（1）得sinA，sinB，sinC的值，由正弦定理可解得a，根据三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由正弦定理，得 sinC=-3sinBcosA，…2分
即sin（A+B）=-3sinBcosA．         
所以sinAcosB+cosAsinB=-3sinBcosA．
从而sinAcosB=-4sinBcosA．      
因为cosAcosB≠0，所以$\frac{tanA}{tanB}=-4$．…4分
又$tanC=-tan（A+B）=\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$，由（1）知，$\frac{3tanB}{{4{{tan}^2}B+1}}=\frac{3}{4}$，解得tanB=$\frac{1}{2}$．…6分
（2）由（1），得sinA=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinC=$\frac{3}{5}$． …10分
由正弦定理，得a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{2×\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．…12分
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{3}$×2×$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{4}{3}$． …14分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．