Question

4．已知圆的方程为x²+y²+ax+2y+a²=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围为（$-\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，过定点A（1，2）作圆的切线有两条，点A必在圆外，推出不等式，然后解答不等式即可．

解答 解：将圆的方程配方得（x+$\frac{a}{2}$）²+（y+1）²=$\frac{4-3{a}^{2}}{4}$，圆心C的坐标为（-$\frac{a}{2}$，-1），半径r=$\sqrt{\frac{4-3{a}^{2}}{4}}$，
条件是4-3a²＞0，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即$\sqrt{（1+\frac{a}{2}）^{2}+（2+1）^{2}}$＞$\sqrt{\frac{4-3{a}^{2}}{4}}$，
化简得a²+a+9＞0．
由4-3a²＞0，a²+a+9＞0，
解之得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故a的取值范围是（$-\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．
故答案为：（$-\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}$）．

点评 本题考查圆的切线方程，直线和圆的方程的应用，考查一元二次不等式的解法，逻辑思维能力，是中档题．