Question

（12分）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C与底面ABC所成的角为，AB=BC=，

∠ABC=，设E、F分别是AB、A₁C的中点。

   （1）求证：BC⊥A₁E；

   （2）求证：EF∥平面BCC₁B₁；

   （3）求以EC为棱，B₁EC与BEC为面的二面角正切值。

Answer 1

解析：证法一：向量法

证法二：（1）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，∴BC⊥平面ABB₁A₁

又A₁E在平面ABB₁A₁内     ∴有BC⊥A₁E

（2）取B₁C的中点D，连接FD、BD

∵F、D分别是AC₁、B₁C之中点，∴FD∥A₁B₁∥BE

∴四边形EFBD为平行四边形    ∴EF∥BD

又BD平面BCC₁B₁   

∴EF∥面BCC₁B₁

（3）过B₁作B₁H⊥CEFH，连BH，又B₁B⊥面BAC，B1H⊥CE

∴BH⊥EC    ∴∠B₁HB为二面角B₁-EC-B平面角

在Rt△BCE中有BE=，BC=，CE=，BH=

又∠A₁CA=      ∴BB₁=AA₁=AC=2   

∴tan∠B₁HB=