题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若,
在
上恒成立,求
的取值范围;
(2)设数列,
为数列
的前
项和,求证:
;
(3)当时,设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
,
,过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
,
于点
,问是否存在点
,使
在
处的切线与
在
处的切线平行?若存在,求出
的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)详见解析;(3)不存在.
【解析】
(1)当时,
,即
,设
,利用导数得到函数的单调性与最值,即可求得求解;
(2)由(1)得在
上恒成立,令
得
,则
,即可作出证明;
(3),设点
的坐标是
,
,得到
在点
处的切线斜率为
,
在点
处的切线斜率为
,根据
,即
,整理得
,设
,得到函数
,
,再令
,
,利用导数得到
的单调性和最值,即可求解.
(1)当时,
,即
,
设,则
.
若,显然不满足题意;
若,则
时,
恒成立,
所以在
上为减函数,有
在
上恒成立;
若,则
时,
,
时
,
所以在
上单调递增.
∵,∴
时,
,不满足题意.
综上,时
在
上恒成立.
(2)由(1)得在
上恒成立,
令有
,
,
则,
∴
,
即.
(3),设点
的坐标是
,
,且
,
则点的中点坐标为
,
在点
处的切线斜率为
,
在点
处的切线斜率为
,
假设在点
处的切线与
在点
处的切线平行,则
,即
.
所以
,
所以.
设,则
,
. ①
令,
,则
.
因为,所以
,所以
在
上单调递增.
故,则
.
这与①矛盾,假设不成立.
故不存在点,使
在点
处的切线与
在点
处的切线平行.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中,有“难度系数”“区分度”和“综合”三个指标,其中,难度系数,区分度
,综合指标
.以下是高三年级 6 次考试的统计数据:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
难度系数 xi | 0.66 | 0.72 | 0.73 | 0.77 | 0.78 | 0.84 |
区分度 yi | 0.19 | 0.24 | 0.23 | 0.23 | 0.21 | 0.16 |
(I) 计算相关系数,若
,则认为
与
的相关性强;通过计算相关系数
,能否认为
与
的相关性很强(结果保留两位小数)?
(II) 根据经验,当时,区分度
与难度系数
的相关性较强,从以上数据中剔除(0.7,0.8)以外的
值,即
.
(i) 写出剩下 4 组数据的线性回归方程(保留两位小数);
(ii) 假设当时,
与
的关系依从(i)中的回归方程,当
为何值时,综合指标
的值最大?
参考数据:
参考公式:
相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为
【题目】下表是20个国家和地区的二氧化碳排放总量及人均二氧化碳排放量.
国家和地区 | 排放总量/千吨 | 人均排放量/吨 | 国家和地区 | 排放总量/千吨 | 人均排放量/吨 | |
A | 10330000 | 7.4 | K | 480000 | 2.0 | |
B | 5300000 | 16.6 | L | 480000 | 7.5 | |
C | 3740000 | 7.3 | M | 470000 | 3.9 | |
D | 2070000 | 1.7 | N | 410000 | 5.3 | |
E | 1800000 | 12.6 | O | 390000 | 16.9 | |
F | 1360000 | 10.7 | P | 390000 | 6.4 | |
G | 840000 | 10.2 | Q | 370000 | 5.7 | |
H | 630000 | 12.7 | R | 330000 | 6.2 | |
I | 550000 | 15.7 | S | 320000 | 6.2 | |
J | 510000 | 2.6 | T | 490000 | 16.6 |
(1)这20个国家和地区人均二氧化碳排放量的中位数是多少?
(2)针对这20个国家和地区,请你找出二氧化碳排放总量较少的前15%的国家和地区.