题目内容
已知
=(cosθ，-sinθ)，
=(cosθ，sinθ)，θ∈(0，
)，且
•
=-
．
（1）求θ的大小；
（2）若sin(x+θ)=
，x∈(
，π)，求cosx的值．
| a |
| b |
| π |
| 2 |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
（1）求θ的大小；
（2）若sin(x+θ)=
| ||
| 10 |
| π |
| 2 |
分析：（1）利用向量垂直的坐标间的关系式即可求得θ的大小；
（2）结合（1），利用两角差的余弦公式即可求得cosx的值．
（2）结合（1），利用两角差的余弦公式即可求得cosx的值．
解答：解：（1）∵
=（cosθ，-sinθ），
=（cosθ，sinθ）且
•
=-
，
∴cos2θ-sin2θ=-
，
∴cos2θ=-
，又θ∈（0，
），
∴2θ=
，
∴θ=
；
（2）∵θ=
，sin（x+θ）=
，
∴sin（x+θ）=sin（x+
）=
，
∵x∈（
，π），
∴x+
∈（
，
），
∴cos（x+
）=-
，
∴cosx=cos[（x+
）-
]
=cos（x+
）cos
+sin（x+
）sin
=-
×
+
×
=
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
∴cos2θ-sin2θ=-
| 1 |
| 2 |
∴cos2θ=-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴2θ=
| 2π |
| 3 |
∴θ=
| π |
| 3 |
（2）∵θ=
| π |
| 3 |
| ||
| 10 |
∴sin（x+θ）=sin（x+
| π |
| 3 |
| ||
| 10 |
∵x∈（
| π |
| 2 |
∴x+
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
∴cos（x+
| π |
| 3 |
3
| ||
| 10 |
∴cosx=cos[（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=cos（x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
=-
3
| ||
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 10 |
| ||
| 2 |
=
| ||||
| 20 |
点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查两角差的余弦，属于中档题．
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