Question

6．已知函数f（x）=lnx+$\frac{3}{8}$x²-2x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[e²，+∞）（k∈Z）上有零点，求k的最大值（e=2.718…）

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）先求出f（x）在x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）上没有零点，只需e^k＜$\frac{2}{3}$即可．通过验证f（e^-1），f（e^-2）的值，从而求出k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题知f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f′（x）=$\frac{（3x-2）（x-2）}{4x}$，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，$\frac{2}{3}$）和（2，+∞），f（x）的单调递减区间为（$\frac{2}{3}$，2）；
（II）因为f（x）在x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）上的最小值为f（2），且
f（2）=$\frac{3}{8}$×2²-4+2+ln2=ln2-$\frac{1}{2}$=$\frac{ln4-1}{2}$＞0，
故f（x）在x∈（$\frac{2}{3}$，+∞）上没有零点．
从而，要想使函数f（x）在[e^k，+∞）（k∈z） 上有零点，
并考虑到f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上单调递增，且在（$\frac{2}{3}$，2）上单调递减，
故只需e^k＜$\frac{2}{3}$即可．易验证f（e^-1）=$\frac{3}{8}$•e^-2-2•e^-1+1＞0，
f（e^-2）=$\frac{3}{8}$•$\frac{1}{{e}^{4}}$-$\frac{2}{{e}^{2}}$+2+lne^-2=$\frac{1}{{e}^{2}}$（$\frac{3}{8}$$\frac{1}{{e}^{2}}$-2）＜0，
当k≤-2且k∈z时均有f（e^k）＜0，
即函数f（x）在[e^k，e^-1]?[e^k，+∞），（k∈z）上有零点．
所以k的最大值为-2．

点评 本题考察了函数的单调性，考察导数的应用，考察函数的零点问题，本题是一道中档题．