题目内容
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
(1)x2=2y (2)存在,M(,1)
(1)依题意知F(0,),圆心Q在线段OF的垂直平分线y=上,
因为抛物线C的准线方程为y=-,
所以=,即p=1.
因此抛物线C的方程为x2=2y.
(2)假设存在点M(x0,)(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x=x0=()′|x=x0=x0,
所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0).
令y=得xQ=+,
所以Q(+,).
又|QM|=|OQ|,
故(-)2+(-)2=(+)2+,
因此(-)2=.
又x0>0,所以x0=,此时M(,1).
故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
因为抛物线C的准线方程为y=-,
所以=,即p=1.
因此抛物线C的方程为x2=2y.
(2)假设存在点M(x0,)(x0>0)满足条件,抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x=x0=()′|x=x0=x0,
所以直线MQ的方程为y-=x0(x-x0).
令y=得xQ=+,
所以Q(+,).
又|QM|=|OQ|,
故(-)2+(-)2=(+)2+,
因此(-)2=.
又x0>0,所以x0=,此时M(,1).
故存在点M(,1),使得直线MQ与抛物线C相切于点M.
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