题目内容
已知函数
(1)若对任意的恒成立,求实数的最小值.
(2)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数的取值范围;
(3)设各项为正的数列满足:求证:
(1); (2) ; (3)
解析试题分析:(I)依题意,对任意的恒成立,即在x1恒成立.则a.
而0,所以,在是减函数,最大值为1,所以,,实数的最小值。
(II)因为,且在上恰有两个不相等的实数根,
即在上恰有两个不相等的实数根,
设g(x)=,则g'(x)=
列表:
所以,g(x)极大值=g()=-ln2-b,g(x)极大值=g(2)=ln2-b-2,,g(4)=2ln2-b-1X (0,) (,2) 2 (2,4) + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
因为,方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
则,解得.
(III)设h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞),则h'(x)=-1≤0
∴h(x)在[1,+∞)为减函数,且h(x)max=h(1)=0,故当x≥1时有lnx≤x-1.
∵a1=1,假设ak≥1(k∈N*),则ak+1=lnak+ak+2>1,故an≥1(n∈N*)
从而an+1=lnan+an+2≤2an+1∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即1+an≤2n,∴an≤2n-1
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极(最)值,研究函数的图象和性质,数列不等式的证明。
点评:难题,不等式恒成立问题,常常转化成求函数的最值问题。(II)(III)两小题,均是通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值),认识函数图象的变化形态等,寻求得到解题途径。有一定技巧性,对学生要求较高。
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