Question

已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；

(2)求证：函数y=F(x)的图像关于点(,0)成中心对称图形.

Answer 1

思路分析：(1)证明函数F(x)的单调性要用到函数f(x)的单调性；(2)证明函数y=F(x)的图像上任一点关于点(,0)的对称点也在函数y=F(x)图像上即可.

解：(1)设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则

F(x₁)-F(x₂)=［f(x₁)-f(a-x₁)］-［f(x₂)-f(a-x₂)］

=［f(x₁)-f(x₂)］+［f(a-x₂)-(a-x₁)］.

又∵函数f(x)是R上的增函数，x₁＜x₂，

∴a-x₂＜a-x₁.

∴f(x₁)＜f(x₂).∴f(a-x₂)＜f(a-x₁).

∴［f(x₁)-f(x₂)］+［f(a-x₂)-f(a-x₁)］＜0.

∴F(x₁)＜F(x₂).

∴F(x)是R上的增函数.

(2)设点M(x₀,F(x₀))是函数F(x)图像上任意一点，则点M(x₀,F(x₀))关于点(,0)的对称点M′(a-x₀,-F(x₀)).

又∵F(a-x₀)=f(a-x₀)-f［a-(a-x₀)］

=f(a-x₀)-f(x₀)

=-［f(x₀)-f(a-x₀)］

=-F(x₀),

∴点M′(a-x₀,-F(x₀))也在函数F(x)图像上.

又∵点M(x₀,F(x₀))是函数F(x)图像上任意一点，

∴函数y=F(x)的图像关于点(,0)成中心对称图形.