题目内容

已知向量
α
=(
3
sinωx，cosωx），
β
=(cosωx，cosωx)，记函数f（x）=
α
•
β
，已知f（x）的周期为π．
（1）求正数ω之值；
（2）当x表示△ABC的内角B的度数，且△ABC三内角A、B、C满sin2B=sinA•sinC，试求f（x）的值域．
分析：（1）由题设条件
α
=(
3
sinωx，cosωx），
β
=(cosωx，cosωx)，记函数f（x）=
α
•
β
，得到f(x)=
3?
sinωxcosωx+cos 2ωx，进行恒等变形，得到f（x）=sin(2ωx+
π
6
)+
1
2
，再由函数的周期公式求出正数ω之值；
（2）且△ABC三内角A、B、C满sin2B=sinA•sinC，得出b2=ac，结合余弦定理求出cosB的取值范围，即得函数的定义域，再求f（x）的值域
解答：解：（1）f(x)=
3
sinωxcosωx+cos 2ωx=
3
2
sin2ωx+
1+cos2ωx
2
=sin(2ωx+
π
6
)+
1
2
，
因为T=π=
2π
2ω
得ω=1．
（2）由（1）得f(x)=sin(2x+
π
6
)+
1
2
，由sin2B=sinA•sinC得b2=ac
又b2=a2+c2-2accosB，∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，∴0＜B≤
π
3
，即o＜x≤
π
3
，∴
π
6
＜2x+
π
6
≤
5π
6
，∴f(x)∈[1，
3
2
]．
点评：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数周期公式，余弦定理，本题是三角函数在高考中的经典题型，综合考查了三角函数中的多个知识点，综合性强，考查了恒等变形的能力，转化的能力，及计算能力
练习册系列答案
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已知向量
m
=(2cosωx，1)，
n
=(
3
sinωx-cosωx，a)，其中（x∈R，ω＞0），函数f(x)=
m
•
n
的最小正周期为π，最大值为3．
（I）求ω和常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．
已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，记函数f（x）=
a
•
b
-
1
2
已知f（x）的最小正周期为π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的单调区间；对称轴方程；对称中心坐标；
（3）当0＜x≤
π
3
时，试求f（x）的最值．
求值
（1）已知向量
a
=(3，4)，
b
=(sinα，cosα)且
a
∥
b
，则
4sinα-2cosα
5cosα+3sinα
的值
（2）已知tan(α+
π
6
)=
1
2
，tan(β-
π
6
)=
1
3
，则tan（α+β）的值．
已知向量
p
=（-cos 2x，a），
q
=（a，2-
3
sin 2x），函数f（x）=
p
•
q
-5（a＞0）．
（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）当a=2时，求函数y=f（x）在[0，π]上单调递增区间．

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