题目内容

已知向量
a
=(
3
sinωx,cosωx),
b
=( cosωx,cosωx),其中ω>0,记函数f(x)=
a
b
-
1
2
已知f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω;
(2)求f(x)的单调区间;对称轴方程;对称中心坐标;
(3)当0<x≤
π
3
时,试求f(x)的最值.
分析:(1)由函数f(x)=
a
b
-
1
2
转化为sin(2ωx+
π
6
),利用周期公式求得ω;
(2)根据正弦函数的单调性、对称轴方程和对称中心回答即可;
(3)由(1)得f(x)=sin(2x+
π
6
),由0<x≤
π
3
得出
π
6
<2x+
π
6
6
,再利用整体思想求解.
解答:解:(1)f(x)=
3
sinωxcosωx+cos2ωx-
1
2

=
3
2
sin2ωx+
1
2
(1+cos2ωx)-
1
2

=sin(2ωx+
π
6

∵ω>0,T=π
∴ω=1
(2)令2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6

∴f(x)单调递增区间为[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
]
令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
2
,解得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
3

∴f(x)单调递减区间为[kπ+
π
6
,kπ+
3
]
令2x+
π
6
=kπ+
π
2
,解得x=
2
+
π
6
,k∈z即为函数的对称轴方程;
令2x+
π
6
=kπ,解得x=
2
-
π
12
,对称中心的坐标是(
2
-
π
12
,0),k∈Z
(3)由(1),得f(x)=sin(2x+
π
6

∴0<x≤
π
3
,∴
π
6
<2x+
π
6
6

∴f(x)∈[
1
2
,1]
∴f(x)max=1  f(x)min=
1
2
点评:本题主要考查用向量运算将函数转化为一个角的一种三角函数,进一步研究三角函数的周期性、单调性、最值等.
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