Question

已知向量

p

=（-cos 2x，a），

q

=（a，2-

3

sin 2x），函数f（x）=

p

•

q

-5（a＞0）．
（1）求函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）当a=2时，求函数y=f（x）在[0，π]上单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，得到f（x）的含有参数a的三角函数表达式，再用辅助角公式合并，即可根据正弦函数的图象与性质得到函数f（x）（x∈R）的值域；
（2）a=2时，f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1．由正弦函数的单调区间的结论列式，可得到函数f（x）的含周期的单调增区间，再结合x∈[0，π]，取交集可得函数y=f（x）在[0，π]上单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=

p

•

q

-5=-acos2x-

3

asin2x+2a-5=-2asin(2x+

π

6

)+2a-5．…（3分）
因为x∈R，所以-1≤sin(2x+

π

6

)≤1
因为a＞0，所以-2a×1+2a-5≤f（x）≤-2a×（-1）+2a-5．
故f（x）的值域为[-5，4a-5]．…（6分）
（2）a=2时，f(x)=-4sin(2x+

π

6

)-1，…（8分）
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．…（10分）
因为x∈[0，π]，所以取k=0，得

π

6

≤x≤

2π

3

∴函数y=f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[

π

6

，

2π

3

]．…（12分）

点评：本题给出向量的数量积的一个函数，求函数的单调区间与值域．着重考查了平面向量数量积的坐标公式、三角恒等化简和辅助角公式等知识，属于中档题．