Question

已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R），且．
（1）求ω的最小正值及此时函数y=f（x）的表达式；
（2）将（1）中所得函数y=f（x）的图象结果怎样的变换可得的图象；
（3）在（1）的前提下，设，，，，f（β）=-，
①求tanα的值；
②求cos2（α-β）-1的值．

Answer 1

解：（1）因为，所以，
于是ω•，即ω=1+12k（k∈Z），
故当k=0时，ω取得最小正值1．
此时．
（2）先将的图象向右平移个单位得y=sinx的图象；
再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得y=sinx的图象；
最后将所得图象上各点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变）得y=x的图象．
（3）因为f（α）=，
所以．
因为，
所以α+．
于是．
①因为，
所以=．
②因为==，
所以cos2（α-β）-1=-2sin²（α-β）=-2×．
分析：（1）将x用代替，求出正弦为1的所有角，求出其中的最小值．
（2）据图象的平移规律：左加右减；伸缩变换的规律：横坐标变为自变量x的乘的数的倒数；若三角函数符号前乘的数为A，则纵坐标变为原来的A倍．
（3）利用三角函数的平方关系求出的余弦，利用商数关系求出的正切；由于
利用两角和的正弦公式求出sin（α-β），再利用二倍角公式求出值．
点评：本题考查三角函数的图象变换规律，三角函数的同角三角函数的公式，三角函数的二倍角公式．
将未知的角用已知的角表示，从而将未知的三角函数用已知的三角函数表示．