题目内容
【题目】已知椭圆Γ: =1(a>b>0)的右焦点为(2
,0),且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1 , F2的距离之和为4
.
(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程;
(Ⅱ)设直线l:y=x+m(m∈R)与椭圆Γ交于不同两点A,B,且|AB|=3 .若点P(x0 , 2)满足|
|=|
|,求x0的值.
【答案】解:(Ⅰ)由已知2a=4 ,得a=2
,又c=2
. ∴b2=a2﹣c2=4.
∴椭圆Γ的方程为 .
(Ⅱ)由 ,得4x2+6mx+3m2﹣12=0,①
∵直线l与椭圆Γ交于不同两点A、B,
∴△=36m2﹣16(3m2﹣12)>0,
解得m2<16.
设A(x1 , y1),B(x2 , y2),则x1 , x2是方程①的两根,
则 ,
.
∴|AB|= =
=
.
又由|AB|=3 ,得﹣
,解得m=±2
据题意知,点P为线段AB的中垂线与直线y=2的交点.
设AB的中点为E(x0 , y0),则 =﹣
,
,
当m=2时,E(﹣ ),
∴此时,线段AB的中垂线方程为y﹣ =﹣(x+
),即y=﹣x﹣1.
令y=2,得x0=﹣3.
当m=﹣2时,E( ),
∴此时,线段AB的中垂线方程为y+ =﹣(x﹣
),即y=﹣x+1.
令y=2,得x0=﹣1.…(1分)
综上所述,x0的值为﹣3或﹣1
【解析】(Ⅰ)由已知2a=4 ,c=2
.由此能求出椭圆Γ的方程.(Ⅱ)由
,得4x2+6mx+3m2﹣12=0,由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线性质、中点坐标公式,结合已知条件能求出x0的值.

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