Question

14．求下列数列{a_n}的通项公式．
（1）a_n+1-a_n=2n，a₁=1；
（2）a_n+1-a_n=2ⁿ，a₁=1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1-a_n=2n，a₁=1，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（2）由a_n+1-a_n=2ⁿ，a₁=1．利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1-a_n=2n，a₁=1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+1
=$2×\frac{n（n-1）}{2}$+1
=n²-n+1．
（2）∵a_n+1-a_n=2ⁿ，a₁=1．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=2ⁿ-1．

点评 本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．