Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．

又因为AC=3，BC=4，AB=5，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC．

又C1C∩BC=C，

所以AC⊥平面CC1B1B，

所以AC⊥BC1

（2）证明：连结C1B交CB1于E，再连结DE，

由已知可得E为C1B的中点，

又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．

∴AC1∥DE

又∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1

∴AC1∥平面CDB1．

【解析】（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用线面垂直的性质定理可得CC1⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用直三棱柱的性质、正方形的性质、三角形的中位线定理即可得出ED∥AC1 ， 再利用线面平行的判定定理即可证明结论