题目内容
【题目】已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．
（1）求M的值；
（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： 
+ 
≥1．
【答案】
（1）解：由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，
若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，
则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．
∴M=4．
（2）解：由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 
[（a+b）+（b+c）]=1
∴ 
+ 
= [（a+b）+（b+c）]（ + ）= （1+1+ 
+ 
）≥ （2+2 
）≥ ×4=1，
当且仅当 = 即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．
∴ + ≥1成立
【解析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．
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