Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(=f(x₁)-f(x₂)，且当x＞1时，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判断f(x）的单调性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

Answer 1

（1）0（2）函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.（3）不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}

（1）令x₁=x₂＞0,
代入得f(1)=f(x₁)-f(x₁)=0,故f(1)=0.
（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,则＞1,
由于当x＞1时，f(x)＜0,
所以f＜0,即f(x₁)-f(x₂)＜0,
因此f(x₁)＜f(x₂),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
（3）由f()=f(x₁)-f(x₂)得
f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.