题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当时,
.
【答案】(1)当时,函数
在
单调递增;当
时,函数
在
单调递增,在
单调递减(2)证明见解析;
【解析】
(1)根据,求导得到
,结合函数的定义域,分
和
两种情况讨论求解.
(2)当时,
,将证明
,转化为证明
成立,令
,用导数法结合零点存在定理证明
即可.
解法一:(1)因为,
所以,
当时,
,即函数
在
单调递增;
当时,令
,即
,解得
;
令,即
,解得
,
综上所述:当时,函数
在
单调递增;
当时,函数
在
单调递增,在
单调递减.
(2)当时,
,
欲证,只需证
,即证明
,
令,
所以,
令,已知函数
在
单调递增.
又,
,所以存在唯一
,使得
,
所以当时,
,即
;
当时,
,即
;
所以函数在
单调递减,在
单调递增.
当时,
,
因为,所以
,所以
,即
,
所以不等式成立,即当
时,
.
解法二:(1)同解法一
(2)当时,
,由(1)知:
在
为增函数,在
为减函数,
所以,所以
,即
.
欲证,只需证
,即证
,
即证,即只需证
,
令,则
,
令得
;令
得
,
所以函数在
为减函数,在
为增函数,
所以,所以不等式
成立,
即当时,
.
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