Question

【题目】以任意方式把空间染成五种颜色(每点属于一色,每色的点都有).

(1)证明:存在一个平面,至少含有四种不同颜色的点;

(2)是否一定存在五色平面?

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 不一定.

【解析】

(1)若存在四色线,则含有的平面即为所求.若存在三色线,

则在线外可再取到一个第四色的点,过点和线的平面即为所求.

假若任一直线上都不多于两色,为此,

用分别表示这五种颜色的点所构成的点集.取点,,过的直线记为,则直线上其余的点也属于或.

不妨设直线上有点,在空间分别取点、,过的平面记为,

则直线与平面有公共点.

若,则平面即为所求(这时,平面上含有四色).

若,在空间再取一点,过点和直线作平面,

则平面和平面的交线为过的直线.在平面内,过点的两条直线和中,

至少有一条要与直线相交,不妨设,则点属于或.

于是,平面至少含有四色(或含或含).

(2)不一定.例如,若将四面体的四个顶 点分别染成四色,

空间其余的点全染成色,这时,不存在五色平面.