题目内容

如果函数的定义域为R,对于定义域内的任意,存在实数使得成立,则称此函数具有“性质”。
(1)判断函数是否具有“性质”,若具有“性质”,求出所有的值;若不具有“性质”,说明理由;
(2)已知具有“性质”,且当,求上有最大值;
(3)设函数具有“性质”,且当时,.若交点个数为2013,求的值.

(1)  ,(2) 当时,,当时,, (3) .

解析试题分析:(1)新定义问题,必须从定义出发,实际是对定义条件的直译. 由,(2)由 性质知函数为偶函数. ∴时,∵单调增,∴时,,当时,∵单调减,在上单调增,又,∴时,,当时,∵单调减,在上单调增,又,∴时,. (3) ∵函数具有“性质” ∴∴函数是以2为周期的函数. 当时,为偶函数,因此易得函数是以1为周期的函数.结合图像得: ①当时,要使得有2013个交点,只要在区间有2012个交点,而在内有一个交点∴,从而得,②当时,同理可得,③当时,不合题意, 综上所述.
(1)由

∴函数具有“性质”,其中       2分
(2) ∵具有“性质”

,则,∴
              4分
时,∵单调增,∴时,      5分
时,∵

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