Question

20．已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁、S₂、S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质得出（2a₁+2）²=a₁（4a₁+12），a₁=1，运用通项公式求解即可．
（2）由（Ⅰ）可得b_n=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）．对n分类讨论“裂项求和”即可得出

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁、S₂、S₄成等比数列．
∴S_n=na₁+n（n-1）
（2a₁+2）²=a₁（4a₁+12），a₁=1，
∴a_n=2n-1；
（2）∵由（Ⅰ）可得b_n=（-1）^n-1$\frac{4n}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）^n-1$•\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=（1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1）^n-1（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）．
当n为偶数时，T_n=1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）-（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．
当n为奇数时，T_n=1+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…-（$\frac{1}{2n-3}$+$\frac{1}{2n-1}$）+（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）=1+$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n+2}{2n+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2n}{2n+1}，n为偶数}\\{\frac{2n+2}{2n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题综合考查了等差数列等比数列的定义，性质，公式，运用方程组的方法求解即可，属于容易题．