题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求实数
的值;
(Ⅱ)若函数在其定义域上是增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)当时,函数
的两个极值点为
,且
,若不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,计算的值,求出
的值即可;(Ⅱ)求得导数,由题意可得
在
恒成立,即有
的最小值,运用基本不等式可得最小值,即可得到
的范围;(Ⅲ)函数
在
上有两个极值点,方程
有两个不等的正根,求得两根,求得范围;不等式
恒成立即为
,而
,设
,求出导数,判断单调性,即可得到
的最小值,即可求得
的范围.
试题解析:(Ⅰ) ,所以
,依题意知,
,所以
.
(Ⅱ)函数的定义域是
,若函数
在其定义域上是增函数,则
在区间
上恒成立,即
在区间
上恒成立,因为
,当且仅当
时等号成立,所以
,因此实数
的取值范围是
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知, ,因为
的两个极值点为
,且
,所以
是方程
的两个根,所以
,
,不等式
恒成立,即
恒成立,而
,由
.所以
,解得
或
,因为
,
,所以
舍去,所以
.令
,
,
,所以函数
在
上是减函数,所以
,故
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示),由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.
(1)根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度;
(2)估计该公司投入4万元广告费之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益y(单位:万元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
表格中的数据显示,x与y之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算y关于x的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ,
.