题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最大值;
(2)令,若
在区间
上为单调递增函数,求
的取值范围;
(3)当时,函数
的图象与
轴交于两点
且
,又
是
的导函数.若正常数
满足条件
.证明:
<0.
【答案】(1)(2)
(3)
,理由见解析
【解析】试题分析:(1),可知
在[
,1]是增函数,在[1,2]是减函数,所以最大值为f(1).(2)
在区间
上为单调递增函数,即
在
上恒成立。
,利用分离参数
在
上恒成立,即求
的最大值。
(3)有两个实根
,
,两式相减
,又
,
.要证:
,只需证:
,令
可证。
试题解析:(1)
函数在[
,1]是增函数,在[1,2]是减函数,
所以.
(2)因为,所以
,
因为在区间
单调递增函数,所以
在(0,3)恒成立
,有
=
,(
)
综上:
(3)∵,又
有两个实根
,
∴,两式相减,得
,
∴,
于是
.
要证: ,只需证:
只需证:.(*)
令,∴(*)化为
,只证
即可.
在(0,1)上单调递增,
,
即.∴
.
(其他解法根据情况酌情给分)
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