题目内容

【题目】已知函数.

(1)当时,求函数上的最大值;

(2)令,若在区间上为单调递增函数,求的取值范围;

(3)当时,函数的图象与轴交于两点,又的导函数.若正常数满足条件.证明: <0.

【答案】(1)(2)(3),理由见解析

【解析】试题分析:(1),可知[,1]是增函数,在[1,2]是减函数,所以最大值为f(1).(2) 在区间上为单调递增函数,上恒成立,利用分离参数上恒成立,即求的最大值。

(3)有两个实根两式相减,又

要证: ,只需证:可证。

试题解析:(1)

函数[,1]是增函数,在[1,2]是减函数,

所以

(2)因为,所以

因为在区间单调递增函数,所以在(0,3)恒成立

,有=,(

综上:

(3),又有两个实根

,两式相减,得

,

于是

要证: ,只需证:

只需证:.(*)

,∴(*)化为 只证即可.

在(0,1)上单调递增,

.∴

(其他解法根据情况酌情给分)

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