Question

（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲
如图，的角平分线的延长线交它的外接圆于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若的面积,求的大小.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析
（Ⅱ）90°

本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.
证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD．
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD．
故△ABE∽△ADC．
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°．
【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论，解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择，同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.