Question

（13分）已知，三棱锥P-ABC中，侧棱PC与底面成60⁰的角，AB⊥AC，BP⊥AC，AB=4，AC=3．

(1) 求证：截面ABP⊥底面ABC；(2）求三棱锥P-ABC的体积的最小值，及此时二面角A-PC-B的正切值．

Answer 1

(2)

证(1)：在三棱锥P-ABC中,∵ AB⊥AC, BP⊥AC，  ∴AC⊥平面ABP,
∴平面ABP⊥平面ABC． 
（2）．作PH⊥面ABC于H, 则H在AB上，连CH，则∠HCP=60⁰      
 当H与A重合时CH最短，棱锥的高PH=CHtan60⁰=CH最短
三棱锥P-ABC的体积V最小．此时，∠ACP=60⁰, PH=AP=3
V=，∵, AB⊥AC，∴．
作，连，由三垂线定理知，可知是二面角A-PC-B的平面角．
在中，PC=6,PA=,AD=．在中可得，二面角A-PC-B的正切值为