题目内容

设F1，F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点，若该椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|，且以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF1有公共点，则该椭圆离心率e的取值范围是______．
∵点P在椭圆C上，∴根据椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a．
又∵|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a-2c
过点F2作F2D⊥PF1于D点，过点O作OE⊥PF1于E点，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴△PF1F2是等腰三角形，可得D是PF1的中点，DF1=
1
2
|PF1|=a-c，
Rt△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
∴|DF2|=
|F1F2|2-|DF1|2
=
4c2-(a-c)2
=
3c2+2ac-a2
．
∵△DF1F2中，OE是中位线，∴|OE|=
1
2
|DF2|=
1
2
3c2+2ac-a2
．
又∵以原点O为圆心，以b为半径的圆与直线PF1有公共点，
∴原点O到直线PF1的距离小于b，即|OE|≤b，得
1
2
3c2+2ac-a2
≤b，
化简得3c2+2ac-a2≤4（a2-c2），即7c2+2ac-5a2≤0，两边都除以a2得7e2+2e-5≤0，解之得-1≤e≤
5
7
．
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得0＜e≤
5
7
．
又∵等腰△PF1F2中，|PF2|+|F1F2|＞|PF2|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=
c
a
＞
1
3
．
综上所述，椭圆的离心率e的取值范围是(
1
3
，
5
7
]．
故答案为：(
1
3
，
5
7
]
练习册系列答案
相关题目
点P是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1上的一点，F1，F2是焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是（　　）
A．
4
3
3
B．4
3
C．
4
3
D．
3
2
已知点A（-1，0）、B（1，0），P（x0，y0）是直线y=x+2上任意一点，以A、B为焦点的椭圆过点P．记椭圆离心率e关于x0的函数为e（x0），那么下列结论正确的是（　　）
A．e与x0一一对应
B．函数e（x0）无最小值，有最大值
C．函数e（x0）是增函数
D．函数e（x0）有最小值，无最大值
已知F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点，若椭圆上存在点P使
PF1
•
PF2
=0，则|PF1|•|PF2|=（　　）
A．b2B．2b2C．2bD．b
椭圆
x2
16
+
y2
25
=1的焦点坐标是（　　）
A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±3，0）D．（0，±3）
椭圆
x2
9
+
y2
2
=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=______，∠F1PF2的大小为______．
已知F1、F2是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若∠F1PF2=60°，且△PF1F2的面积为3
3
，则b=（　　）
A．2B．3C．6D．9
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A．(
1
3
，
2
3
)		B．(
1
2
，1)		C．(
2
3
，1)		D．(
1
3
，
1
2
)∪(
1
2
，1)
已知椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（　　）
A．
9
5
B．3C．
9
7
7
D．
9
4

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