题目内容
17.数列{an}的前n项和为Sn=-n2+16n-2.(1)求数列{an}的通项公式an:
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
分析 (1)运用当n=1时,a1=S1,当n>1时,an=Sn-Sn-1,化简计算即可得到通项公式;
(2)讨论当1≤n≤8时,|an|=an,当n≥9,|an|=-an=2n-17,运用等差数列的求和公式,计算即可得到.
解答 解:(1)∵Sn=-n2+16n-2,
∴n>1时,Sn-1=-(n-1)2+16(n-1)-2,
当n=1时,a1=S1=13,
an=Sn-Sn-1=-2n+17,
当n=1时,-2n+17=14≠a1,
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{13,n=1}\\{-2n+17,n≥2}\end{array}\right.$.
(2)由-2n+17≥0得n≤$\frac{17}{2}$.
∴当1≤n≤8时,|an|=an,
当n≥9,|an|=-an=2n-17,
当n≤8时,|an|中第一项是13,
第二项起是以13为首项,-2为公差的等差数列,
∴前n项和Tn=13+13(n-1)+$\frac{1}{2}$(n-1)(n-2)•(-2)=-2+16n-n2(1<n≤8),
当n≥9时,此时|an|的前8项之和已得出为62,
|an|的后n-8项是以1为首项,2为公差的等差数列,后n-8项的和为
Tn'=(n-8)×1+$\frac{1}{2}$(n-8)(n-9)×2=n2-16n+64,
∴Tn=62+Tn'=n2-16n+126.
∴Tn=$\left\{\begin{array}{l}{-2+16n-{n}^{2},n≤8}\\{{n}^{2}-16n+126,n≥9}\end{array}\right.$.
点评 本题考查等差数列的通项和求和公式和应用,解题时要认真审题,仔细解答.
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