Question

【题目】已知两圆， 的圆心分别为c1，c2，，P为一个动点，且.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得C1C＝C1D?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在满足题意的直线l，使得C1C＝C1D.

【解析】试题分析：（1）写出两圆的圆心坐标，根据∵| |+| |= ＞2=| |可知动点P的轨迹是以和为焦点、长轴长为 的椭圆，从而易求椭圆方程即所求轨迹方程；（2）当斜率不存在时容易判断，当存在斜率时，设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程消掉得的二次方程，则有，设交点C ，D ，CD的中点为N ，求出二次方程的两解，从而可得线段中点的横坐标，代入直线方程可得纵坐标，要使，必须有，即，解出方程的解，再检验是否满足即可

试题解析：（1）两圆的圆心坐标分别为， ，因为，所以根据椭圆的定义可知，动点P的轨迹为以原点为中心、C1C2为焦点、长轴长为的椭圆，且， ，

所以椭圆的方程为，即动点P的轨迹M的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，易知点在椭圆的外部，直线与椭圆无交点，此时直线不存在.故直线的斜率存在，设为，则直线的方程为

由得 ①

依题意，有，解得

当时，设交点C(x1，y1)，D（x2，y2），CD的中点为N（x0，y0），则，所以.

要使，必须有，即，所以，即，矛盾，所以不存在直线，使得，综上所述，不存在满足题意的直线，使得