题目内容

已知向量
a
=（cosx-3，sinx），
b
=（cosx，sinx-3），f（x）=
a
•
b

（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）若x∈[-π，0]，求函数f（x）的单调增区间；π
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，求实数m的取值范围．
分析：（1）由已知中向量
a
=（cosx-3，sinx），
b
=（cosx，sinx-3），f（x）=
a
•
b
，代入向量数理积公式，求出函数的解析式，根据ω及A值，可确定函数的最小周期及最值；
（2）根据x∈[-π，0]，我们可以根据（1）中函数解析式求出相位角的范围，进而根据正弦型函数的单调性，得到答案．
（3）若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立，我们可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵向量
a
=（cosx-3，sinx），
b
=（cosx，sinx-3），
∴f（x）=
a
•
b
=cos2x-3cosx+sin2x-3sinx=-3
2
sin（x+
π
4
）+1
则函数f（x）的最小正周期T=2π，
函数f（x）的最大值为3
2
+1，最小值为-3
2
+1，
（2）∵x∈[-π，0]，
∴x+
π
4
∈[-
3π
4
，
π
4
]
则函数f（x）的单调增区间为[-
3π
4
，-
π
2
]
（3）当x∈[
π
4
，
π
2
]时，x+
π
4
∈[
π
2
，
3π
4
]
f（x）∈[-3
2
+1，-2]
若不等式|f（x）-m|＜1在x∈[
π
4
，
π
2
]上恒成立
则m-1＜-3
2
+1，且m+1＞-2
∴-3＜m＜-3
2
+2
点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，函数恒成立问题，平面向量数量积的运算，三角函数的性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握正弦型函数的性质，根据已知条件求出函数的解析式是解答本题的关键．
练习册系列答案
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已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求证：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，则θ=
 
．
已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），则|
a
+
b
|最大值为（　　）
已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），则|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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