题目内容
(本题满分14分)
如图1，在平面内，ABCD是
的菱形，ADD``A1和CD D`C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q，若
£q£
，求线段BE长的取值范围；
(Ⅱ)在线段
上存在点
，使平面
平面
，求
与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有< 1．
如图1，在平面内，ABCD是
的菱形，ADD``A1和CD D`C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）． (Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q，若
£q£，求线段BE长的取值范围；(Ⅱ)在线段
上存在点，使平面平面，求与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有< 1．（方法1）设菱形
的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x,y轴，建立空间直角坐标系如图1．设BE =" t" （t > 0）．
（Ⅰ）
设平面
的法向量为
，则
3分
设平面的法向量为
，则
4分设二面角
的大小为
，则
， 6分∵cosqÎ
， ∴
， 解得
£ t £
． 所以BE的取值范围是 [，]． 8分(Ⅱ) 设
，则
由平面
平面，得
平面，
,化简得：
(t ¹a)，即所求关系式：
（BE ¹a).∴当0< t < a时，
< 1. 即：当0 < BE < a时，恒有< 1． 14分（方法2）
（Ⅰ）如图2，连接D1A，D1C，EA，EC，D1O，EO，
∵ D1A= D1C，所以，D1O⊥AC，同理，EO⊥AC，
∴
是二面角的平面角．设其为q． 3分连接D1E，在△OD1E中，设BE =" t" （t > 0）则有：
OD1 =
，OE = 
，D1E = 
，∴
. 6分∵cosqÎ
， ∴ ， 解得
£ t £． 所以BE的取值范围是 [，]．所以当条件满足时，
£ BE £． 8分（Ⅱ）当点E在平面A1D1C1上方时，连接A1C1，则A1C1∥AC，
连接EA1，EC1，设A1C1的中点为O1，则O1在平面BDD1内，过O1作O1P∥OE交D1E于点P，则平面
平面．作平面BDD1如图3．过D1作D1B1∥BD交于l点B1，设EO交D1B1于点Q．
因为O1P∥OE，所以
=
=
，由Rt△EB1Q∽RtEBO，得
，解得QB1 = 
，得=
， 12分当点E在平面A1D1C1下方时，同理可得，上述结果仍然成立． 13分
∴有
=
（BE ¹a），∴当0 < t < a时，< 1. 14分略
练习册系列答案
相关题目
平面
，
，且
，
，
，求证：
点，那么这两个切点在球面上的最短距离是 。
中
，
的大小
(第20题) (第21题)
ABCD为正方形，GD//FC//AE，AE⊥平面ABCD，其正视图、俯视图如下：
使得
，二面角A—BG—K的大小为
，求
的值。