Question

12．已知函数f（x）=x²+2x+1．
（1）f（x）在（-∞，+∞）上有无反函数？
（2）若f（x）在[m，+∞）上有反函数，求m的范围．
（3）f（x）在[1，+∞）上的反函数．

Answer 1

分析 （1）由y=（x+1）²，解得x=-1$±\sqrt{y}$，即可判断出是否有反函数；
（2）f（x）在[m，+∞）上有反函数，由（1）可得：m≥-1．
（3）由x∈[1，+∞），即y=（x+1）²≥4，解得x=-1$+\sqrt{y}$，把x与y互换可得：y=-1+$\sqrt{x}$（x≥4）．即可得出．

解答 解：（1）由函数f（x）=y=x²+2x+1，即y=（x+1）²，解得x=-1$±\sqrt{y}$，因此f（x）在（-∞，+∞）上无反函数．
（2）f（x）在[m，+∞）上有反函数，由（1）可得：m≥-1，
∴m的范围是m≥-1．
（3）∵x∈[1，+∞），即y=（x+1）²≥4，解得x=-1$+\sqrt{y}$，把x与y互换可得：y=-1+$\sqrt{x}$（x≥4）．
∴f（x）在[1，+∞）上的反函数是y=-1+$\sqrt{x}$（x≥4）．

点评 本题考查了一元二次方程的解法、反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．