题目内容
已知函数
在点
处的切线方程为
，且对任意的
，
恒成立.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）求实数
的最小值；
（Ⅲ）求证：
（
）.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）先证
，累加即得.
解析试题分析：（Ⅰ）将
代入直线方程得
，∴
① 
，∴
②
联立，解得
∴
（Ⅱ）
，∴
在上恒成立；
即
在恒成立；
设
，
，
∴只需证对于任意的有
设
，
1）当
，即
时，
，∴
在
单调递增，∴
2）当
，即
时，设
是方程
的两根且
由
，可知
，分析题意可知当
时对任意有；
∴
，∴
综上分析，实数的最小值为.
（Ⅲ）令
，有
即
在恒成立；
令
，得
∴原不等式得证.
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；不等式的证明．
点评：本题考查了利用导数研究函数的切线方程问题，在曲线上某点处的切线的斜率就是该点的导数值，考查了导数在最大值和最小值中的应用，体现了数学转化思想和分类讨论的数学思想．特别是（Ⅲ）的证明，用到了放缩法和裂项相消，此题属难度较大的题目．
练习册系列答案
相关题目
时，求函数
的单调区间;
时，求函数
上的最大值.
．
，求曲线
在点
处的切线方程；
的单调区间；
．若至少存在一个
，使得
成立，求实数
的取值范围．
.
，
]，且定义域为[a，b]，求b－a的最大值. 
，
的值域.
时，函数
的表达式； 
的图象，并指出其单调区间。
.
，
单调区间；
时，证明：当
时，证明：
。