Question

8．设x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$，则z=x²+（y-4）²的取值范围是[$\frac{3\sqrt{2}}{2}，\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由z=x²+（y-4）²的几何意义，即可行域内的动点（x，y）与定点（0，4）的距离求得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤4}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

z=x²+（y-4）²的几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点（0，4）的距离．
由图可知z=x²+（y-4）²的最小值为（0，4）到直线x-y+1=0的距离的平方，等于$（\frac{|-4+1|}{\sqrt{2}}）^{2}=\frac{9}{2}$；
最大值为（0，4）与C（4，5）两点间的距离的平方，等于17．
∴z=x²+（y-4）²的取值范围是[$\frac{9}{2}，17$]．
故答案为：[$\frac{9}{2}，17$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．