题目内容
【题目】设常数a≥0，函数f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．
【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣（lnx）（lnx）+2alnx﹣1，x∈（0，+∞）
∴ 
，= 
，
∴g（x）=xf'（x）=x﹣2lnx+2a，x∈（0，+∞）
∴ 
，令g'（x）=0，得x=2，
列表如下：
∴g（x）在x=2处取得极小值g（2）=2﹣2ln2+2a，
即g（x）的最小值为g（2）=2﹣2ln2+2a．（6分）g（2）=2（1﹣ln2）+2a，
∵ln2＜1，∴1﹣ln2＞0，又a≥0，
∴g（2）＞0
（2）证明：由（Ⅰ）知，g（x）的最小值是正数，
∴对一切x∈（0，+∞），恒有g（x）=xf'（x）＞0
从而当x＞0时，恒有f'（x）＞0
故f（x）在（0，+∞）上是增函数
（3）证明：由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴当x＞1时，f（x）＞f（1）
又f（1）=1﹣ln21+2aln1﹣1=0
∴f（x）＞0，即x﹣1﹣ln2x+2alnx＞0
∴x＞ln2x﹣2alnx+1
故当x＞1时，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1
【解析】（1）依题意求出g（x）的表示式，用导数研究其单调性求出其最小值再与0比较；（2）利用（1）的结论进行证明，判断时要求注意研究的区间是（0，+∞）这一特征；（3）由（2）的结论知只须证明f（1）非负即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解复合函数单调性的判断方法(复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”)，还要掌握函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)的相关知识才是答题的关键．
【题目】为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况，从两校各随机抽取60名学生，将所得样本作出频数分布统计表如下： 甲校：
分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
频数 | 2 | 5 | 9 | 10 |
分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
频数 | 14 | 10 | 6 | 4 |
乙校：
分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
频数 | 2 | 4 | 8 | 16 |
分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
频数 | 15 | 6 | 6 | 3 |
以抽样所得样本数据估计总体
（1）比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低；
（2）若规定数学成绩不低于120分为优秀，从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人，其中数学成绩为优秀的共X人，求X的分布列及数学期望．
