Question

已知y=f(x)为一次函数，且f(2)，f(1)，f(4)成等比数列，且f(2)=-1.

(1)求F(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N^*)的表达式；

(2)求F(n)=f(1)+f(2)+…+f(n)的最值.

Answer 1

解：(1)设f(x)=ax+b(a≠0)由f(2),f(1)，f(4)成等比数列，

∴(a+b)²=(2a+b)(4a+b)化简得a(7a+4b)=0.

∵f(x)为一次函数，

∴a≠0,∴7a+4b=0.                           ①

又f(2)=-1即2a+b=-1                        ②

联立①②解得a=-4,b=7,

∴f(x)=-4x+7.

∴F(n)=-4(1+2+3+…+n)+7n

=-4×

(2)F(n)=-2n²+5n=-2(n-)²+,∴F(n)是关于n的二次函数，n的取值为正整数，越靠近对称轴则F(n)的值越大.

∴取n=1时，F(n)最大=3.

随着n∈N^*,n→+∞,F(n)→-∞.

∴F(n)无最小值.