题目内容
(2006•重庆一模)已知函数f(x)=|1-
|.
(I)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f (x)的定义域和值域都是[a,b].若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由;
(II)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f (x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0).求实数m的取值范围.
1 | x |
(I)是否存在实数a,b(a<b),使得函数y=f (x)的定义域和值域都是[a,b].若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由;
(II)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f (x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0).求实数m的取值范围.
分析:(I)可假设存在实数a,b,使得y=f(x)的定义域和值域都是[a,b],由此出发探究a,b的可能取值,可分三类:a,b∈(0,1)时,a,b∈(1,+∞)时,a∈(0,1),b∈(1,+∞),分别建立方程,寻求a,b的可能取值,若能求出这样的实数,则说明存在,否则说明不存在;
(II)由题意,由函数y=f (x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0)可判断出m>0及a>0,结合(I)的结论知只能a,b∈(1,+∞),由函数在此区间内是增函数,建立方程,即可得到实数m所满足的不等式,解出实数m的取值范围.
(II)由题意,由函数y=f (x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0)可判断出m>0及a>0,结合(I)的结论知只能a,b∈(1,+∞),由函数在此区间内是增函数,建立方程,即可得到实数m所满足的不等式,解出实数m的取值范围.
解答:解:(I)不存在实数a,b满足条件.
假设存在实数a,b,使得y=f(x)的定义域和值域都是[a,b],而y≥0,x≠0,所以应有a>0
又f(x)=
(1)当a,b∈(0,1)时,f(x)=
-1在(0,1)上为减函数,
故有
,即
由此可得a=b,此时实数a,b的值不存在.
(2)当a,b∈(1,+∞)时,f(x)=1-
在∈(1,+∞)上为增函数,
故有
,即
由此可得a,b是方程x2-x+1=0的根,但方程无实根,所以此时实数a,b也不存在.
(3)当a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,显然1∈[a,b],而f(1)=0∈[a,b]不可能,此时a,b也不存在
综上可知,适合条件的实数a,b不存在.
(II)若存在实数a,b使函数y=f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0).
由mb>ma,b>a得m>0,而ma>0,所以a>0
由(I)知a,b∈(0,1)或a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,适合条件的实数a,b不存在,故只能是a,b∈(1,+∞)
∵f(x)=1-
在∈(1,+∞)上为增函数
∴
,即
∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个不等实根,且二实根均大于1,
∴
,解之得0<m<
,
故实数m的取值范围是(0,
)
假设存在实数a,b,使得y=f(x)的定义域和值域都是[a,b],而y≥0,x≠0,所以应有a>0
又f(x)=
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(1)当a,b∈(0,1)时,f(x)=
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故有
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(2)当a,b∈(1,+∞)时,f(x)=1-
1 |
x |
故有
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(3)当a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,显然1∈[a,b],而f(1)=0∈[a,b]不可能,此时a,b也不存在
综上可知,适合条件的实数a,b不存在.
(II)若存在实数a,b使函数y=f(x)的定义域为[a,b],值域为[ma,mb](m≠0).
由mb>ma,b>a得m>0,而ma>0,所以a>0
由(I)知a,b∈(0,1)或a∈(0,1),b∈(1,+∞)时,适合条件的实数a,b不存在,故只能是a,b∈(1,+∞)
∵f(x)=1-
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x |
∴
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∴a,b是方程mx2-x+1=0的两个不等实根,且二实根均大于1,
∴
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故实数m的取值范围是(0,
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点评:本题的考点是函数与方程的综合应用,考察了绝对值函数,函数的定义域、值域构造方程的思想,二次方程根与系数的关系等,解题的关键是理解题意,将问题正确转化,进行分类讨论探究,本题考察了分类讨论的思想,方程的思想,考察了推理判断能力,是一道综合性较强的题,思维难度大,解题时要严谨,本题易因为考虑不完善出错.
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