Question

已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc=
（1）是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。
（2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周长的最小值。

Answer 1

（1）存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4，5，6或3，7，8，（2）△ABC的周长最小值为，当且仅当时，取得此最小值

（1）不妨设整数a≥b≥c，显然c≥2。
若c≥5，这时
由，可得
。
矛盾。
故c只可能取2，3，4。
当c=2时，，有
又a≥b≥2，故无解。
当c=3时，，即
又a≥b≥3，故
或或
解得或或
能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3。
当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。
能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4。
故存在三边长均为整数的△ABC，其三边长分别为4，5，6或3，7，8
（2）由，可得

所以，
又，则有

故△ABC的周长最小值为，当且仅当时，取得此最小值。