题目内容

已知a, b是异面直线,下面四个命题:
①过a至少有一个平面平行于b;  ②过a至少有一个平面垂直于b;
③至多有一条直线与a,b都垂直;④至少有一个平面与a,b都平行。
其中正确命题的个数是
A.0  B.1 C.2 D.3
C

专题:探究型;运动思想.
分析:根据a,b是异面直线,以及平面的确定,作出平面α,β,γ满足①过a至少有一个平面平行于b;②必须在异面直线垂直的条件下才成立;③跟据线面垂直的判定定理,即可找到这样的平面γ与a,b都平行,且平面γ的直线有无数条,故③不成立,④找到这样的平面γ与a,b都平行,且这样的平面有无数个.故④正确.
解答:解:∵a,b是异面直线,
∴在直线a上任取一点p,过P和直线b确定一个平面α,在平面α内过P做直线c∥b,
且a,c确定平面β,b∥β,故①正确;
②若过a至少有一个平面垂直于b,则b⊥a,而a与b不一定垂直,故②不正确;
③若直线l⊥β,则直线l⊥a,l⊥b,而直线l有无数条,故③不正确;
④过b上一点直线c∥a,则b,c确定一个平面γ,则所有与它平行且不过a的平面β都满足与两异面直线平行,故④正确.
故选C.
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