Question

已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）试问：在点的轨迹上，是否存在点，使的面积，若存在，求的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）点的轨迹的方程是．

（Ⅱ）当时，存在点，使，；当时，不存在满足条件的点。

解析:

（Ⅰ）设点的坐标为．当时，点和点在轨迹上．

当且时，由．得．

又．所以为线段的中点．在中，，所以有．

综上所述，点的轨迹的方程是．

（Ⅱ）上存在点使的充要条件是

所以，当时，存在点，使；当时，不存在满足条件的点，当时，，，

由，

，

，得．