题目内容

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=
an
2
+n-1，(n为奇数)
an-2n，(n为偶数)
记bn=a2n(n∈N*)
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=(22n-1-1)bn2，数列{cn}的前n项和为{sn}，若对任意n∈N*，不等式λ≥1+Sn恒成立，求实数λ取值范围；
（3）设xn=
2n
n
bn，数列{xn}的前n项和为Tn，若存在整数m，使对任意n∈N*，且n≥2，都有T3n-Tn＞
m
20
成立，求m的最大值．
分析：（1）由bn=a2n，知bn+1=a2n+1+1=
a2n+1
2
+(2n+1)-1=
a2n
2
=
1
2
bn，由a1=1，知b1=a2=
1
2
a1=
1
2
，由此能导出数列{bn}的通项公式．
（2）由cn=(22n-1-1)(
1
2
)n2=(
1
2
)(n-1)2-(
1
2
)n2，知Sn=c1+c2++cn=1-(
1
2
)n2，Sn=c1+c2+…+cn=1-(
1
2
)n2，若对于任意n∈N*，不等式λ≥1+Sn恒成立，由此能求出λ的取值范围．
（3）由xn=
2n
n
bn=
1
n
，知T3n-Tn=
1
n+1
+
1
n+2
++
1
3n
，令f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
++
1
3n
，则f(n+1)-f(n)=
1
3n+1
+
1
3n+2
+
1
3n+3
-
1
n+1
＞
1
3n+3
+
1
3n+3
-
2
3n+3
=0，所以f（n）是增函数，由此能导出整数m的最大值为18．
解答：解：（1）bn=a2n，
bn+1=a2n+1+1=
a2n+1
2
+(2n+1)-1=
a2n
2
=
1
2
bn，
a1=1，
∴b1=a2=
1
2
a1=
1
2
，
∴{bn}是首项和公比都为
1
2
的等比数列，
故bn=(
1
2
)n（5分）
（2）cn=(22n-1-1)(
1
2
)n2=(
1
2
)(n-1)2-(
1
2
)n2，
Sn=c1+c2+…+cn=1-(
1
2
)n2，
若对于任意n∈N*，
不等式λ≥1+Sn恒成立，
则λ≥2，
故λ的取值范围是[2，+∞）．（9分）
（3）xn=
2n
n
bn=
1
n
，
T3n-Tn=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
，
令f（n）=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
，
则f(n+1)-f(n)=
1
3n+1
+
1
3n+2
+
1
3n+3
-
1
n+1

＞
1
3n+3
+
1
3n+3
-
2
3n+3
=0，
f（n+1）＞f（n），
∴f（n）是增函数
当n≥2时，
f(n)min=f(2)=
19
20
，
m
20
＜
19
20
，
故m＜19，
整数m的最大值为18．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网