题目内容
(本小题满分14分)
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t∈R,t>0).
(1)求f(x)的最小值s(t);
(2)若s(t)<-2t+m对t∈(0,2)时恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
解:(1)∵f(x) =tx2+2t2x+t-1
=t(x+t)2-t3+t-1(t∈R,t>0), 3分
∴当x=-t时,f(x)取得最小值f(-t)=-t3+t-1,
即s(t)=-t3+t-1. 6分
(2)令h(t)=s(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m.
由h′(t)=-3t2+3=0, 8分
得t=1或t=-1(舍去),则有 10分
t |
(0,1) |
1 |
(1,2) |
h′(t) |
+ |
0 |
- |
h(t) |
增 |
极大值 |
减 |
∴h(t)在(0,2)内有最大值1-m, 12分
∴s(t)<-2t+m对t∈(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立,
即1-m<0,∴m>1. 14分
【解析】略
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