题目内容

(本小题满分14分)

设函数f(x)=tx2+2t2xt-1(tRt>0).

(1)求f(x)的最小值s(t);

(2)若s(t)<-2tmt∈(0,2)时恒成立,求实数m的取值范围.

 

 

【答案】

解:(1)∵f(x) =tx2+2t2xt-1

t(xt)2t3t-1(tRt>0),           3分

∴当x=-t时,f(x)取得最小值f(-t)=-t3t-1,

s(t)=-t3t-1.                       6

(2)令h(t)=s(t)-(-2tm)=-t3+3t-1-m.

h′(t)=-3t2+3=0,                  8

t=1或t=-1(舍去),则有                10

t

(0,1)

1

(1,2)

h′(t)

0

h(t)

极大值

h(t)在(0,2)内有最大值1-m,                  12

s(t)<-2tmt∈(0,2)时恒成立等价于h(t)<0恒成立,

即1-m<0,∴m>1.                      14

 

【解析】略

 

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