Question

【题目】在三棱锥中，，，平面平面，点在棱上.

若为的中点，证明：.

若与平面所成角的正弦值为，求.

Answer 1

【答案】证明见解析；.

【解析】

取的中点，连接，.利用勾股定理求证，进而得，最后证出.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，设平面的法向量为，根据与平面所成角的正弦值为，列式求得，进而求.

解：证明：取的中点，连接，.因为，所以.

又因为平面平面，且相交于，所以平面，

所以.

因为，所以，

所以，所以，

所以，且为的中点，所以.

解：如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得，，，，，

设，

则.

设平面的法向量为.

由，，得，

可取，

所以，

解得（舍去），，则

所以.