Question

【题目】已知定义域为的函数满足：（1）对任意，恒有成立；（2）当时，.给出如下结论：

①对任意，有；

②函数的值域为

③存在，使得；

④“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在，使得”.

上述结论正确有（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第（2）个条件得到②正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断③命题错误；据①②③的正确性可得④是正确的．

①f（2m）＝f（22m﹣1）＝2f（2m﹣1）＝…＝2m﹣1f（2），正确；

②取x∈（2m，2m+1]，则∈（1，2]；f（）＝2，从而

f（x）＝2f（）＝…＝2mf（）＝2m+1﹣x，其中，m＝0，1，2，…

从而f（x）∈[0，+∞），正确；

③f（2n+1）＝2n+1﹣2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）＝9，即存在x1，x2，10，又，2x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在，所以该命题错误；

④根据前面的分析容易知道该选项正确；

综合有正确的序号是①②④．

故选：C.