题目内容
【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间及极值;
(2)若函数在
上有唯一零点,证明:
.
【答案】(1)的减区间为
,增区间为
,极小值为
,无极大值(2)见解析
【解析】
(1)求出函数的定义域以及导数,利用导数求出函数
的单调区间,并由单调性得出函数
的极值;
(2)利用参变量分离法得出关于的方程
在
上有唯一解,构造函数
,得出
,构造函数
,求出该函数的导数,判断导数的符号,得出函数的单调性,求出函数
的最小值转化即可。
(1)的定义域为
,∵
,
当时,
,
为减函数;
当时,
,
为增函数,
∴有极小值
,无极大值,
故的减区间为
,增区间为
,极小值为
,无极大值;
(2)函数在
上有唯一零点,即当
时,方程
有唯一解,
∴有唯一解,令
,则
令,则
,
当时,
,故函数
为增函数,
又,
,
∴在
上存在唯一零点
,则
,且
,
当时,
,
当时,
,∴
在
上有最小值.ly
,∴
.
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