Question

(本题满分16分)

已知圆，相互垂直的两条直线、都过点.

（Ⅰ）当时，若圆心为的圆和圆外切且与直线、都相切，求圆的方程；

（Ⅱ）当时，求、被圆所截得弦长之和的最大值，并求此时直线的方程.

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆的半径为，易知圆心到点的距离为，

∴ ，                  ………………………………4分

解得且∴圆的方程为.  ……………7分

（Ⅱ）当时，设圆的圆心为，、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即

，化简得.    ……………………10分

从而，

∴，当且仅当时等号成立.

∴当时，有，

即、被圆所截得弦长之和的最大值为.               ……………13分

此时，显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，

则，.                  …………………………15分

∴直线的方程为：或.       …………………………16分