题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且椭圆
的右顶点到直线
的距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
与椭圆交于
，
两点，求
的面积的最大值(
为坐标原点).
【答案】（1）
.（2）
【解析】
（1）根据椭圆
的右顶点到直线
的距离为3可求
，然后利用离心率可求
，结合
的关系可得椭圆的方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理可求
，结合三角形面积公式及基本不等式可求
的面积的最大值.
（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为3，
所以
，解得
或
（舍）.
因为椭圆的离心率为
，所以
，
所以
，所以
.
故椭圆的方程为.
（2）由题意可知直线
的斜率不为0，
则可设直线的方程为
，
，
，
联立
，整理得
，
则
，
，
从而
.
故的面积
.
设
，则
，故
，
当且仅当
，即
时，的面积取得最大值2.
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【题目】某快餐连锁店，每天以200元的价格从总店购进早餐，然后以每份10元的价格出售．40份以内，总店收成本价每份5元，当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收，超过40份的未销售的部分总店成本价回收，然后进行环保处理．如果销售超过40份，则超过40份的利润需上缴总店．该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量（单位：份），整理得下表：
日销售量 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
频数 | 10 | 16 | 28 | 24 | 14 | 8 |
完成下列问题：
（1）写出每天获得利润
与销售早餐份数
（
）的函数关系式；
（2）估计每天利润不低于150元的概率；
（3）估计该快餐店每天的平均利润．
