题目内容
数列
、
的每一项都是正数,
,
,且
、
、
成等差数列,、、
成等比数列,
.
（Ⅰ）求
、
的值；
（Ⅱ）求数列、的通项公式；
（Ⅲ）证明:对一切正整数
,有
.
(Ⅰ)
；（Ⅱ）
，
；（Ⅲ）答案详见解析.
解析试题分析：(Ⅰ)依题意，
，
，并结合已知，，利用赋值法可求、的值；（Ⅱ）由①，②，且
，则
，
（
），代入①中，得关于的递推公式
，故可判断数列
是等差数列，从而可求出，代入（）中，求出（），再检验
时，
是否满足，从而求出；（Ⅲ）和式
相当于数列
的前项和，先确定其通项公式，根据通项公式的不同形式，选择相应的求和方法，先求得
，不易求和，故可考虑放缩法，将其转化为容易求和的形式，再证明和小于
.
试题解析：(Ⅰ)由
，可得
，由
，可得
.
（Ⅱ）因为
、
、
成等差数列，所以…①.因为、、
成等比数列，所以，因为数列
、
的每一项都是正数，所以…②.于是当
时，…③.将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以
，于是.由③式，可得当时，
.当时，，满足该式子，所以对一切正整数
，都有.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为
.
方法一:首先证明
（）.
因为
,
所以当时，
.
当时，
.
综上所述，对一切正整数，有
方法二:
.
当
时，
.
当时，；当
时，
.
综上所述，对一切正整数，有
练习册系列答案
特高级教师点拨系列答案
相关题目
（常数
），其前
项和为
（
）
的首项
，并判断
的前n项和，求证：
＋…＋
＝
，记Sn为数列{an}的前n项和．
的前
项和为
，满足
且
恰好是等比数列
的前三项．
,若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．
ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为
，且A，B，C成等差数列，
，对于数列
中
.
，则这样的数列
满足首项
，
（
），且末项
，记数列
项和为
，求
，满足
，
，
，求数列
所满足的通项公式；
的通项公式；
，设
＝
，常数
,若数列
是等差数列，记
，求
.
是数列
的前
项和，对任意
都有
成立， (其中
、
、
是常数)．
，
，
时，求
；
，
，
时，
，
，求数列
的通项公式；
数列”.
，试问：是否存在数列
，且
．若存在，求数列
的所
的前
项和为
，且
.
求证：
.